Storia dell'analisi funzionale.
Il testo di riferimento è J. Dieudonné, History of Functional Analysis,North-Holland, 1981.
Vedi anche: http://courses.mai.liu.se/GU/TATM85/FA-history.pdf
Nell'articolo fondativo citato sotto Cucker e Smale gettarono le basi di una teoria matematica dell'apprendimento (di grande interesse per l'intelligenza artificiale). Le conoscenze pregresse sono minime, ma l'articolo va alquanto in profondità. Un ruolo importante è svolto dagli spazi di Hilbert con nucleo riproducente.
Cucker, Felipe(PRC-CHK); Smale, Steve(PRC-CHK)
On the mathematical foundations of learning.
Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 39 (2002), no. 1, 1–49.
http://www.ams.org/journals/bull/2002-39-01/S0273-0979-01-00923-5/S0273-0979-01-00923-5.pdf
Nell'articolo qui sotto vengono discusse diverse distanze indotte su uno spazio X da un nucleo riproducente k: XxX->C. Questo argomento si presta anche ad essere sviluppato in maniera originale, poiché ogni spazio di Hilbert genera la sua famiglia di distanze, che ha poi proprietà geometriche che vanno indagate caso per caso.
https://arxiv.org/pdf/1010.0136.pdf
Anche questo articolo può interessare:
https://www.math.wustl.edu/~mccarthy/public_papers/cowen_douglas.pdf
Zeri di funzioni in spazi con nucleo riproducente. Questo classico articolo inquadra il problema in termini di analisi funzionale:
Shapiro, H. S.; Shields, A. L. On the zeros of functions with finite Dirichlet integral and some related function spaces. Math. Z. 80 1962 217–229.
https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.acta/1485890007
L'argomento si presta a qualche progetto di ricerca originale.
Rappresentazione di gruppi. Dal punto di vista dell'analisi, si cerca di avere uno strumento simile alle serie/trasformate di Fourier, ma definite su gruppi (dotati di una topologia) in generale. Un'ottima introduzione è in queste note di Fulvio Ricci.
http://homepage.sns.it/fricci/papers/annoncomm.pdf
Dopo i primi capitoli generali, approfondimenti possono essere fatti in direzione dei gruppi abeliani, o dei gruppi compatti, o di alcuni specifici gruppi (nelle note viene considerato il gruppo di Heisenberg).
In alternativa c'è questo libro di Diaconis in cui si sviluppa la rappresentazione dei gruppi discreti per applicarla subito a problemi in probabilità:
Diaconis, Persi Group representations in probability and statistics. Institute of Mathematical Statistics Lecture Notes—Monograph Series, 11. Institute of Mathematical Statistics, Hayward, CA, 1988. vi+198 pp. ISBN: 0-940600-14-5